Мадхава из Сангамаграмы — средневековый индийский астроном и математик XIV—XV веков, основатель Керальской школы астрономии и математики. Сангамаграма, где он родился — это, как полагают историки, нынешний город Иринджалакуда} в штате Керала, южная Индия.
Мадхава первым стал заниматься разложением тригонометрических функций в ряды; эти исследования продолжили Нилаканта Сомаяджи и другие учёные керальской школы. Другие исследования Мадхавы относятся к алгебре, тригонометрии и геометрии.
Научная деятельность
Труды Мадхавы, за исключением двух, не сохранились, так что судить о его влиянии можно по многочисленным ссылкам и цитатам его учеников и последователей. Из-за этого, впрочем, трудно отделить результаты самого Мадхавы от достижений других керальских учёных.
Разложение тригонометрических функций
Приведём основные разложения в современных обозначениях (керальцы излагали их словесно, нередко стихами на санскрите).
| № | Ряд | Пояснение | Когда и кем открыт в Европе |
|---|---|---|---|
| 1 | sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots } | Ряд для синуса | Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676) |
| 2 | cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots } | Ряд для косинуса | Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676) |
| 3 | arctg x = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ {\displaystyle \operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots } | Ряд для арктангенса | Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676) |
| 4 | π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + … {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots } | Ряд для числа π {\displaystyle \pi } | Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676) |
Эти ряды часто называют рядами Мадхавы-Лейбница или Мадхавы-Грегори. С помощью указанных рядов Мадхава рассчитал и опубликовал точные таблицы синусов. Ещё один ряд, приведенный в труде Джьештадевы со ссылкой на Мадхаву, позволяет рассчитать значение арктангенса:
Значение числа
Расчёт значения числа π {\displaystyle \pi } по приведенной выше формуле обнаружен в трактате «Махаджьянаяна», автор которого неизвестен. Часть историков приписывает его Мадхаве, другие — кому-то из его последователей в XVI веке. В трактате приводится также преобразованный ряд, который сходится быстрее:
Сумма первых 21 слагаемых даёт значение 3,141 59265359 {\displaystyle 3{,}14159265359} , все знаки, исключая последний, верны.
Возможно, Мадхаве принадлежит трактат «Садратнамала», где приводится ещё более точное значение: π = 3,141 59265358979324 {\displaystyle \pi =3{,}14159265358979324} (верны все знаки, кроме последнего)
Труды
Как уже говорилось выше, точно неизвестно, какие из дошедших до нас трудов керальских учёных принадлежат Мадхаве. Историк К. В. Сарма приводит следующий список:
- Голавада
- Мадхьяманаянапракара
- Махаджьянаянапракара
- Лагнапракарана ()
- Венвароха ()
- Спхутакндрапти ()
- Аганита-грахакара (-)
- Чандравакьяс ()
