Добавить биографию на сайт

Биографии известных людей.
Факты, фото, видео, интересные истории.

Поделиться

Эрдёш, Пал: биография

  • Получил (параллельно с А. Сельбергом и независимо от него) первое элементарное доказательство асимптотического закона распределения простых чисел.
  • Дал краткое доказательство расходимости ряда ∑ p 1 p {\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}} (с суммированием по всем простым) элементарными методами.

Пусть ряд сходится. Тогда для некоторого k {\displaystyle k} выполнено ∑ p ≥ k 1 p < 1 2 {\displaystyle \sum \limits _{p\geq k}{\frac {1}{p}}<{\frac {1}{2}}} .

Пусть зафиксировано некоторое произвольное N {\displaystyle N} . Разобьём все числа меньшие N {\displaystyle N} на два класса - те, которые имеют простой делитель p ≥ k {\displaystyle p\geq k} и те, у которых все простые делители меньше k {\displaystyle k} .

Количество чисел в первом классе ограничено сверху величиной ∑ p ≥ k ⌊ N p ⌋ ≤ ∑ p ≥ k N p < N 2 {\displaystyle \sum \limits _{p\geq k}{\left\lfloor {\frac {N}{p}}\right\rfloor }\leq \sum \limits _{p\geq k}{\frac {N}{p}}<{\frac {N}{2}}} .

Каждое число из второго класса представимо в виде a b 2 {\displaystyle a{b^{2}}} , где a {\displaystyle a} свободно от квадратов, то есть является произведением какого-то набора простых чисел меньших k {\displaystyle k} . Кроме того, очевидно, b ≤ N {\displaystyle b\leq {\sqrt {N}}} . Значит, таких чисел существует не более чем 2 k N {\displaystyle {2^{k}}{\sqrt {N}}} .

Рассмотрев это рассуждение для числа N > 2 2 k + 2 {\displaystyle N>2^{2k+2}} можно получить, что общее количество чисел меньших N {\displaystyle N} будет N 2 + 2 k N < N 2 + N 2 = N {\displaystyle {\frac {N}{2}}+{2^{k}}{\sqrt {N}}<{\frac {N}{2}}+{\frac {N}{2}}=N} , что приводит к противоречию, так как каждое число меньше N {\displaystyle N} , очевидно, принадлежит ровно к одному классу.

КОММЕНТАРИИ
Написать комментарий

НАШИ ЛЮДИ