Гамильтон, Уильям Роуэн: биография

Геометрия обязана Гамильтону и такими терминами, как «коллинеарность» и «компланарность» (применявшимися только к точкам; для векторов с общим началом в соответствующих случаях употреблялись выражения termino-collinear и termino-coplanar).

Несколько работ Гамильтона посвящены уточнению работ Абеля по разрешимости уравнения пятой степени и численным методам. В ходе своих исследований кватернионов Гамильтон доказал ряд алгебраических теорем, которые в наши дни относят к теории матриц. Важную в линейной алгебре теорему Гамильтона — Кэли он фактически доказал для матриц размерности 4 × 4 {\displaystyle 4\times 4} , само понятие матрицы и формулировку теоремы (без доказательства) опубликовал Кэли (1858), для общего случая доказательство дал Фробениус в 1898 году.

Оптика

Теория распространения света

Первую свою крупную научную работу, озаглавленную «Caustics», 19-летний Гамильтон представил в 1824 году доктору Бринкли, тогдашнему президенту Ирландской академии наук. Работа эта (посвящённая развитию дифференциальной геометрии прямолинейных конгруэнций с применением к теории оптических инструментов) осталась в рукописи, однако с 1827 года Гамильтон начал публикацию серии статей со значительно расширенным и углублённым её вариантом под общим заглавием «Теория систем лучей» (Theory of Systems of Rays).

В данных статьях Гамильтон стремился построить формальную теорию известных оптических явлений, которая была бы приемлема безотносительно к принимаемой точке зрения на природу света (то есть к его трактовке либо как потока частиц, либо как распространяющихся волн). Он заявлял, что его цель — создать теорию оптических явлений, которая обладала бы такой же «красотой, эффективностью и гармонией», что и аналитическая механика Лагранжа.

В первой из статей цикла (1827 год) Гамильтон применительно к случаю оптически однородной среды исследует общие свойства световых лучей, которые выходят из одной светящейся точки и подвергаются либо отражениям, либо преломлениям. В основу исследования он кладёт известные из опыта законы отражения и преломления лучей. Исходя из этих представлений геометрической оптики, Гамильтон приходит к понятию «поверхностей постоянного действия» (в волновой интерпретации — фронт волны), получает и анализирует описывающие данные поверхности дифференциальные уравнения.

В конце статьи Гамильтон показывает, что все оптические законы могут быть выведены из чрезвычайно общего и плодотворного вариационного принципа, применённого к некоторой «характеристической функции», которая характеризует конкретную оптическую систему. В современной терминологии эта функция представляет собой интеграл от действия как функцию пределов интегрирования; его часто называют «эйконалом Гамильтона». В письме к Кольриджу Гамильтон вспоминал:

Моей целью было не открывать новые феномены, не улучшать конструкции оптических инструментов, но с помощью дифференциального исчисления преобразовать геометрию света, посредством установления единого метода для решения всех проблем этой науки.

Он поясняет: «Общей проблемой, которую я поставил перед собой в оптике, является исследовать математические следствия принципа наименьшего действия». Этот принцип, далеко обобщающий классический «принцип наименьшего времени Ферма», оказался единым как для механики, так и для оптики. Средствами своей теории Гамильтон также строго доказал, что геометрическая оптика есть предельный случай волновой оптики для малых длин волн.

В «Первом дополнении» (1830 год) Гамильтон распространяет исследование на случай произвольных оптических сред (неоднородных и неизотропных); при этом наряду с характеристической функцией V {\displaystyle V} вводится ещё вторая функция W {\displaystyle W} , зависящая от направляющих косинусов последнего отрезка луча. Во «Втором дополнении» (тот же 1830 год) Гамильтон получает для V {\displaystyle V} уравнение в частных производных, а функцию W {\displaystyle W} истолковывает как общий интеграл данного уравнения.