Евдокс Книдский: биография

Общая теория отношений

Числовые системы древних греков ограничивались натуральными числами и их отношениями (дробями, рациональными числами). Однако ещё пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть отношение их длин не может быть представлено рациональным числом. Стало понятно, что пифагорейская арифметика должна быть каким-то образом расширена с тем, чтобы включать все результаты измерений. Это и сделал Евдокс. Его теория дошла до нас в изложении Евклида (Начала, книга V).

В дополнение к числам Евдокс ввёл более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Этот подход снимает проблему несоизмеримости. По существу, теория отношений Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Признание иррациональностей как особого вида чисел произошло много позднее, под влиянием индийских и исламских математических школ.

В начале своего построения Евдокс дал аксиоматику для сравнения величин. Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены две операции: отделение части и соединение (взятие кратного). Однородность величин сформулирована в виде аксиомы, известной также как аксиома Архимеда: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга». Сам Архимед при изложении этой аксиомы сослался на Евдокса.

Далее Евдокс рассматривает отношения между величинами и определяет для них равенство:

Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой, каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.

В переводе на современный математический язык это означает, что отношения a : b {\displaystyle a:b} и c : d {\displaystyle c:d} равны, если для любых натуральных m, n выполняется одно из трёх соотношений:

• либо ma < nb и mc < nd;
• либо ma = nb и mc = nd;
• либо ma > nb и mc > nd.

Фактически описанное свойство означает, что между a : b {\displaystyle a:b} и c : d {\displaystyle c:d} нельзя вставить рациональное число.

Далее Евдокс аккуратно выводит свойства отношений: транзитивность, упорядоченность и т. д.

Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел поразительно похожа на изложение Евдокса. Соответствие между ними устанавливается так: пусть заданы две величины Евдокса a, b; дробь m/n отнесём к классу A, если ma > nb, иначе — к классу B. Тогда классы A и B определяют дедекиндово сечение поля рациональных чисел Q. Осталось отождествить отношение по Евдоксу b : a {\displaystyle b:a} с этим дедекиндовым числом.

Отметим, однако, что у Евдокса отсутствует аналог аксиомы непрерывности, и ниоткуда не следует, что всякое сечение Q определяет вещественное число.

Метод исчерпывания

Это своего рода античный анализ криволинейных фигур. Обоснование этого метода не опирается на актуальные бесконечно малые, но неявно включает понятие предела. Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан, в античные времена у метода не было специального названия. Евклид изложил теорию метода исчерпывания в X книге «Начал», а в XII книге применил для доказательства нескольких теорем.

Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи.

В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур.

С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и конуса).

Наиболее плодотворным этот метод стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда, который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий. В средние века европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным методом неделимых, а затем — математическим анализом.