Гамильтон, Уильям Роуэн: биография

Геометрическая интерпретация комплексных чисел открывала возможность плодотворного применения их в планиметрии и при решении двумерных задач математической физики. Пытаясь добиться аналогичного результата в пространственном случае, Гамильтон в течение нескольких лет работал над обобщением понятия комплексного числа и созданием полноценной системы «чисел» из троек действительных чисел (сложение должно было — как и для комплексных чисел — быть покомпонентным; проблема состояла в надлежащем определении умножения). Не преуспев в этом, он обратился к четвёркам действительных чисел. Озарение пришло к нему в один из октябрьских дней 1843 года — во время прогулки по дублинскому мосту; так появились кватернионы.

Теория кватернионов

Создание теории кватернионов

Для открытых им «четырёхчленных чисел» Гамильтон ввёл название кватернионы — от лат. quaterni ‘по четыре’. Наряду с представлением кватернионов четвёрками действительных чисел он — по аналогии с комплексными числами — записывал кватернионы и как формальные суммы вида

где i , j , k {\displaystyle i,j,k}  — три кватернионные единицы (аналоги мнимой единицы i {\displaystyle i} ). Предполагая умножение кватернионов дистрибутивным относительно сложения, Гамильтон свёл определение операции умножения кватернионов к заданию таблицы умножения для базовых единиц 1 , i , j , k {\displaystyle 1,i,j,k} вида :

Из таблицы видно, что умножение кватернионов не является коммутативным (поэтому алгебраическая система кватернионов является телом, но не полем). В 1878 году Г. Фробениус объяснил причину неуспеха Гамильтона с тройками действительных чисел, доказав следующее утверждение (теорема Фробениуса): над полем действительных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } существуют лишь три конечномерные ассоциативные алгебры с делением: само R {\displaystyle \mathbb {R} } , поле комплексных чисел C {\displaystyle \mathbb {C} } и тело кватернионов H {\displaystyle \mathbb {H} } .

Два следующих десятилетия Гамильтон посвятил подробному исследованию новых чисел и практическим приложениям, написав на эту тему 109 статей и две объёмные монографии «Лекции о кватернионах» и «Элементы кватернионов». Правую часть формулы ( ∗ ) {\displaystyle (*)} он рассматривал как сумму двух слагаемых: скалярной части (число a {\displaystyle a} ) и векторной части (оставшаяся часть суммы); позднее некоторые авторы использовали соответственно выражения «вещественная часть» и «мнимая часть». Так в математику впервые вошли слова вектор (1847 г.) применительно к кватерниону с нулевой скалярной частью и скаляр (1853 г.) применительно к кватерниону с нулевой векторной частью. В качестве векторной и скалярной частей кватернионного произведения двух векторов появились на свет соответственно векторное и скалярное произведения.

Приложения кватернионов

Крупнейшим продолжателем работ Гамильтона и популяризатором кватернионов стал его ученик — шотландский математик Питер Тэт, предложивший для них множество приложений к геометрии, сферической тригонометрии и физике. Одним из первых таких приложений стало изучение пространственных преобразований. Комплексные числа успешно используются для моделирования произвольных движений на плоскости: сложению чисел соответствует перенос точек комплексной плоскости, а умножению — поворот (с одновременным растяжением, если модуль множителя отличен от 1).

Аналогично кватернионы представляют собой удобный инструмент для исследования движений в трёхмерном евклидовом пространстве (см. Кватернионы и вращение пространства): такое их использование основано на геометро-числовой интерпретации кватернионов, при которой кватернионным единицам сопоставляются (в современной терминологии) векторы некоторого правого ортонормированного базиса в трёхмерном пространстве. Тогда устанавливается взаимно однозначное соответствие между трёхмерными поворотами и внутренними автоморфизмами тела кватернионов; каждый такой автоморфизм может быть порождён кватернионом с модулем, равным 1 (модуль кватерниона q {\displaystyle q} определяется как корень квадратный из суммы квадратов его компонентов a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} ), причём данный кватернион, называемый кватернионом поворота, определяется с точностью до знака. При этом последовательному выполнению двух поворотов соответствует умножение соответствующих кватернионов поворота. Этот факт, кстати, ещё раз иллюстрирует некоммутативность умножения кватернионов, поскольку результат выполнения двух трёхмерных поворотов существенно зависит от порядка их выполнения.