Гамильтон, Уильям Роуэн: биография

В ходе исследований кватернионов Гамильтон попутно ввёл понятие векторного поля (сам термин «поле» у него ещё отсутствует, вместо него использовалось понятие векторной функции точки) и заложил основы векторного анализа. Символика Гамильтона (в частности, введённый им оператор набла) позволила ему компактно записывать основные дифференциальные операторы векторного анализа: градиент, ротор и дивергенцию . На основе работ Гамильтона Гиббс и Хевисайд выделили и развили систему векторного анализа, уже отделённую от теории кватернионов; она оказалась чрезвычайно полезной в прикладной математике и вошла в учебники.

Максвелл ознакомился с кватернионами благодаря Тэту, своему школьному другу, и высоко их оценил: «Изобретение исчисления кватернионов есть шаг вперёд в познании величин, связанных с пространством, который по своей важности можно сравнить только с изобретением пространственных координат Декартом». В ранних статьях Максвелла по теории электромагнитного поля кватернионная символика применяется для представления дифференциальных операторов, тем не менее в последних своих работах Максвелл отказался от кватернионной символики в пользу более удобного и наглядного векторного анализа Гиббса и Хевисайда.

Историческое значение теории кватернионов

В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в квантовой механике и теории относительности. Реальное применение кватернионы нашли в современной компьютерной графике и программировании игр, а также в вычислительной механике, в инерциальной навигации и теории управления. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике».

Феликс Клейн высказал мнение, что «кватернионы хороши и применимы на своём месте, но они не имеют всё же такого значения, какое имеют обыкновенные комплексные числа». Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется матричное исчисление; однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи минимального числа скалярных параметров, использование параметров Родрига — Гамильтона (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, углами Эйлера) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается.

В любом случае исторический вклад кватернионов в развитие математики был неоценим. Анри Пуанкаре писал: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии».

Другие области математики

Геометрия

В 1861 г. Гамильтон в области планиметрии доказал носящую его имя теорему Гамильтона: Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.

В 1856 году Гамильтон исследовал группу симметрий икосаэдра и показал, что у неё имеются три порождающих элемента. Изучение другого многогранника, додекаэдра, привело впоследствии к появлению в теории графов полезного понятия «гамильтонова графа»; кроме того, Гамильтон придумал занимательную головоломку, связанную с обходом рёбер додекаэдра, и выпустил её в продажу (1859). Эта игра, красочно оформленная как «Путешествие вокруг света», долгое время выпускалась в разных странах Европы.

С момента возникновения теории кватернионов Гамильтон постоянно имел в виду приложения возникшего в её рамках аппарата векторов к пространственной геометрии. При этом направленный отрезок A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} с началом в точке A {\displaystyle A} и концом в точке B {\displaystyle B} Гамильтон трактовал именно как вектор и записывал (вслед за Мёбиусом) в виде B − A {\displaystyle B-A} (то есть как разность конца и начала). Сам термин «вектор» был образован им от латинского глагола vehere ‘нести, тянуть’ (имелся в виду перенос подвижной точки из начального положения A {\displaystyle A} в конечное положение B {\displaystyle B} ).