Нётер, Эмми: биография

В 1918 году Нётер опубликовала плодотворную статью об обратной задаче теории Галуа. Вместо определения группы Галуа для данного поля и его расширения, Нётер задалась вопросом, всегда ли можно найти такое расширение данного поля, которое имеет данную группу в качестве группы Галуа. Она показала, что эта проблема сводится к так называемой «проблеме Нётер»: верно ли, что поле элементов, неподвижных относительно подгруппы G группы Sn, действующей на поле k(x1, ... , xn), всегда является чисто трансцендентным расширением поля k. (Она впервые говорит об этой проблеме в статье 1913 года, приписывая её своему коллеге Фишеру.) Нётер показала, что данное утверждение верно для n = 2, 3 или 4. В 1969 году Р. Суон нашёл контрпример к задаче Нётер, в котором n = 47, а G — циклическая группа порядка 47 (хотя эта группа может быть реализована как группа Галуа над полем рациональных чисел другими способами). Обратная задача теории Галуа остаётся нерешённой.

Физика

Нётер прибыла в Гёттинген в 1915 году по просьбе Давида Гильберта и Феликса Клейна, которые были заинтересованы в получении её знаний в области теории инвариантов, с целью помочь им в понимании общей теории относительности — геометрической теории гравитации, разработанной, по большей мере, Альбертом Эйнштейном. Гильберт заметил, что закон сохранения энергии, по-видимому, нарушается в общей теории относительности, в связи с тем, что гравитационная энергия может сама по себе служить источником гравитации. Нётер нашла разрешение этого парадокса, используя первую теорему Нётер, доказанную ей в 1915, но не опубликованную до 1918 года. Она решила не только эту проблему в общей теории относительности, но также определила сохраняющиеся величины для каждой системы физических законов, обладающих некоторой непрерывной симметрией.

Получив её работу, Эйнштейн написал Гильберту:

«Вчера я получил от Мисс Нётер очень интересную статью об инвариантах. Я поражён, что такие вещи могут быть поняты таким общим образом. Старая гвардия в Гёттингене должна взять несколько уроков у Мисс Нётер! Она, кажется, знает своё дело.» Оригинальный текст (англ.)   "Yesterday I received from Miss Noether a very interesting paper on invariants. I'm impressed that such things can be understood in such a general way. The old guard at Gttingen should take some lessons from Miss Noether! She seems to know her stuff."

— Kimberling 1981, С. 13

Для иллюстрации, если физическая система ведёт себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве, то физические законы, которые управляют ей, являются симметричными относительно вращений; из этой симметрии, согласно теореме Нётер, следует, что вращательный момент системы должен быть постоянным. Физическая система сама по себе может не быть симметричной; зазубренные астероиды, вращаясь в пространстве, сохраняют кинетический момент, несмотря на их асимметрию. Скорее, симметрия физических законов, регулирующих систему, отвечает за Законы сохранения. В качестве другого примера, если физический эксперимент имеет один и тот же результат в любом месте и в любое время, то его законы симметричны относительно непрерывных сдвигов в пространстве и во времени; по теореме Нётер, из наличия этих симметрий следуют закон сохранения импульса и энергии в пределах этой системы, соответственно.

Теорема Нётер стала одним из основных инструментов современной теоретической физики благодаря теоретическому пониманию законов сохранения, которое она даёт, а также как практический инструмент расчётов.

Второй период (1920—1926)

Хотя результаты первого периода работы Нётер были впечатляющими, её известность как математика опирается в большей степени на работу, которую она проделала во время второго и третьего периодов, как отмечали Герман Вейль и Бартель Варден в своих некрологах о ней.

В это время она не просто применяла идеи и методы прежних математиков, а разрабатывала новые системы математических определений, которые будут использоваться в будущем. В частности, она разработала совершенно новую теорию идеалов в кольцах, обобщив более раннюю работу Дедекинда. Она также славится разработкой условия обрыва возрастающих цепей — простого условия конечности, используя которое она смогла получить весомые результаты. Такие условия и теория идеалов позволили Нётер обобщить многие прошлые результаты и взглянуть по-новому на старые проблемы, такие как теория исключения и алгебраические многообразия, изучавшиеся её отцом.