Нётер, Эмми: биография

Возрастающие и убывающие цепи

В этот период своей работы Нётер прославилась своим ловким использованием условий обрыва возрастающих и убывающих цепей. Последовательность непустых подмножеств A1, A2, A3 … множества S, называется возрастающей, при условии, что каждое из них является подмножеством следующего

И наоборот, последовательность подмножеств S называется убывающей, если каждое из них содержит следующее подмножество:

Последовательность стабилизируется после конечного числа шагов, если существует такое n, что A n = A m {\displaystyle A_{n}=A_{m}} для всех m n. Совокупность подмножеств заданного множества удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей, если любая возрастающая последовательность становится постоянной после конечного числа шагов. Если любая убывающая последовательность становится постоянной после конечного числа шагов, то совокупность подмножеств удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей.

Условия обрыва возрастающих и убывающих цепей являются общими — в том смысле, что они могут применяться для многих типов математических объектов — и на первый взгляд кажутся не очень мощным инструментом. Нётер показала, как можно использовать такие условия с максимальной пользой: например, как использовать их, чтобы показать, что каждый набор подобъектов имеет максимальный или минимальный элемент, или что сложный объект может быть построен из меньшего числа порождающих элементов. Эти выводы часто являются важнейшими шагами в доказательствах.

Многие типы объектов в абстрактной алгебре могут удовлетворять условиям обрыва цепей, и, как правило, если они удовлетворяют условию обрыва возрастающих цепей, то их называют нётеровыми. По определению, нётерово кольцо удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей идеалов. Нётерова группа определяется как группа, в которой каждая строго возрастающая цепочка подгрупп конечна. Нётеров модуль — модуль, в котором каждая возрастающая последовательность подмодулей становится постоянной после конечного числа шагов. Нётерово пространство — топологическое пространство, в котором каждая возрастающая последовательность открытых пространств становится постоянной после конечного числа шагов; это определение делает спектр нётрова кольца нётеровым топологическим пространством.

Условия обрыва цепей часто «наследуются» подобъектами. Например, все подпространства нётерового пространства нётеровы; все подгруппы и факторгруппы нётеровой группы также нётеровы; то же самое верно для подмодулей и фактормодулей нётерового модуля. Все факторкольца нётерового кольца нётеровы, но это не обязательно верно для подколец. Условия обрыва цепей также могут быть унаследованы комбинациями или расширениями нётерового объекта. Например, конечные прямые суммы нётеровых колец нётеровы, как и кольцо формальных степенных рядов над нётеровым кольцом.

Другое применение условий обрыва цепей — нётерова индукция, являющаяся обобщением математической индукции. Нётерова индукция часто используется для сведения утверждения о совокупности объектов к утверждению о конкретных объектах из этой совокупности. Предположим, что S является частично упорядоченным множеством. Одним из способов доказательства утверждения об объектах из S является предположение о существовании контрпримера и получение противоречия. Основной предпосылкой для нётеровой индукции является то, что каждое непустое подмножество S содержит минимальный элемент; в частности, множество всех контрпримеров содержит минимальный элемент. Тогда для того, чтобы доказать первоначальное заявление, достаточно доказать то, что для любого контрпримера есть меньший контрпример.

Коммутативные кольца, идеалы и модули

В статье Нётер «Теория идеалов в кольцах» 1921 года были разработаны основания общей теории коммутативных колец и дано одно из первых общих определений коммутативного кольца. Ранее, многие результаты коммутативной алгебры ограничивались частными примерами коммутативных колец, такими как кольца многочленов над полем или кольца целых алгебраических чисел. Нётер доказала, что в кольце, идеалы которого удовлетворяют условию обрыва возрастающих цепей, каждый идеал конечно порождён. В 1943 году французский математик Клод Шевалле ввёл термин «нётерово кольцо», чтобы описать это свойство. Главным результатом в статье Нётер 1921 года является теорема Ласкера — Нётер, которая обобщает теорему Ласкера о примарном разложении идеалов в кольцах многочленов. Теорему Ласкера — Нётер можно рассматривать как обобщение основной теоремы арифметики, которая гласит, что любое целое положительное число можно представить в виде произведения простых чисел, и что это представление единственно.