Нётер, Эмми: биография
Если развитие математики сегодняшнего дня несомненно протекает под знаком алгебраизации, проникновения алгебраических понятий и алгебраических методов в самые различные математические теории, то это стало возможным лишь после работ Эмми Нётер.
А. Эйнштейн в заметке на её смерть отнёс Нётер к величайшим творческим гениям математики.
Вклад в математику и физику
Для математиков прежде всего важны работы Нётер в области абстрактной алгебры и топологии. Физики уделяют большое внимание теореме Нётер. Её работы внесли большой вклад в развитие теоретической физики и теории динамических систем. Нётер проявляла склонность к абстрактному мышлению, которое позволило ей решать проблемы математики новыми и оригинальными способами. Друг и коллега Нётер Герман Вейль разделил её научную работу на три периода:
- период относительной зависимости, 1907—1919;
- исследования, сгруппированные вокруг общей теории идеалов, 1920—1926;
- изучение некоммутативной алгебры и её применение к исследованию коммутативных числовых полей и их арифметики, 1927—1935.
В первый период (1907—1919) Нётер, в первую очередь, работала с дифференциальными и алгебраическими инвариантами. Её математические горизонты расширялись, и работы становились более абстрактными, на это повлияло её знакомство с работами Давида Гильберта.
Второй период (1920—1926) был посвящён разработке математической теории колец.
В третий период (1927—1935) Нётер сосредоточила своё внимание на изучении некоммутативной алгебры, линейных преобразований и числовых полей.
Исторический контекст
Начиная с 1832 года и до смерти Нётер в 1935 году, область математики, называемая алгеброй, претерпела глубокие изменения. Математики предыдущих столетий работали над практическими методами решения конкретных типов уравнений, например, кубических, а также над связанной с этим задачей построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Начиная с работы Карла Фридриха Гаусса, доказавшего в 1832 году, что простые числа, такие как пять, могут быть разложены в произведение гауссовых целых чисел, введения Эваристом Галуа понятия группы перестановок в 1832 году (по причине смерти, его работы были опубликованы лишь в 1846 году Лиувиллем), открытия кватернионов Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году и появления понятия абстрактной группы, предложенного Артура Кэли в 1854 году, исследования обратились к определению свойств более абстрактных и общих систем. Наиболее важный свой вклад в развитие математики Нётер внесла за счёт развития этой новой области, называемой абстрактной алгеброй.
Абстрактная алгебра и begriffliche Mathematik (концептуальная математика)
Основные объекты абстрактной алгебры — это группы и кольца.
Группа состоит из множества элементов и одной бинарной операции, которая сопоставляет каждой упорядоченной паре элементов этого множества некоторый третий элемент. Операция должна удовлетворять определённым ограничениям — она должна обладать свойством ассоциативности, а также должен существовать нейтральный элемент, и для каждого элемента должен существовать обратный к нему элемент.
Кольцо, аналогично, имеет множество элементов, но теперь на нём определены две операции — сложение и умножение. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна (обычно также подразумевается её ассоциативность и существование единицы). Кольцо, в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный элемент относительно умножения (то есть элемент х, такой, что aх = ха = 1), называют телом. Поле определяется как коммутативное тело.
Группы часто изучают с помощью их представлений. В наиболее общем случае, представление группы G — это произвольное множество с действием группы G на этом множестве. Обычно множество является векторным пространством, а группа представляет симметрии этого пространства. Например, существует группа поворотов пространства относительно некоторой фиксированной точки. Поворот является симметрией пространства, потому что само пространство не изменяется при вращении, даже если положение объектов в нём изменяется. Нётер использовала подобные симметрии в своей работе по инвариантам в физике.
